Quartz 4

1. Kapitola důkazy

2 min read

2. PŘÍMÝ DŮKAZ

Myšlenka: Postupujeme od předpokladu A_A_ k závěru B_B_ pomocí řady logických kroků.

Postup:

  1. Vycházíme z platnosti předpokladu A_A_.

  2. Pomocí definic, axiomů a známých vět odvodíme B_B_.

Příklad:

  • Tvrzení: Je-li n_n_ sudé, pak n2_n_2 je sudé.

  • Důkaz:

    • Předpoklad: n_n_ je sudé  ⟹ n=2k⟹_n_=2_k_.

    • Pak n2=(2k)2=4k2=2⋅(2k2)n_2=(2_k)2=4_k_2=2⋅(2_k_2).

    • Tedy n2_n_2 je sudé. ✅

3. NEPŘÍMÝ DŮKAZ

Myšlenka: Místo A  ⟹  B_A_⟹_B_ dokazujeme jeho obměnu ¬B  ⟹  ¬A¬_B_⟹¬_A_.

Postup:

  1. Znegujeme závěr (¬B¬_B_) a předpoklad (¬A¬_A_) původního tvrzení.

  2. Dokážeme, že z ¬B¬_B_ plyne ¬A¬_A_.

Příklad:

  • Tvrzení: Pokud 3∤(x2−1)3∤(x_2−1), pak 3∣x3∣_x.

  • Důkaz (obměna): Dokazujeme: Pokud 3∤x3∤_x_, pak 3∣(x2−1)3∣(_x_2−1).

    • Předpokládejme 3∤x ⟹ x=3k+13∤_x_⟹_x_=3_k_+1 nebo x=3k+2_x_=3_k_+2.

    • Dosadíme, ukážeme, že v obou případech 3∣(x2−1)3∣(_x_2−1). ✅

4. DŮKAZ SPOREM

Myšlenka: Předpokládáme opak tvrzení a dojdeme k logickému sporu.

Postup:

  1. Chceme dokázat A_A_. Předpokládáme ¬A¬_A_.

  2. Z ¬A¬_A_ odvodíme spor (např. A∧¬A_A_∧¬_A_ nebo spor s jiným známým faktem).

Příklad:

  • Tvrzení: Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.

  • Důkaz:

    • Předpokládejme, že existuje nejmenší kladné číslo r>0_r_>0.

    • Pak r2>02_r_>0 a r2<r2_r_<r → spor s minimalitou r_r_. ✅

5. DŮKAZ MATEMATICKOU INDUKCÍ

Myšlenka: Dokazujeme tvrzení pro všechna přirozená čísla n_n_.

Postup:

  1. Báze: Ověříme platnost pro nejmenší n_n_ (obvykle n=0_n_=0 nebo n=1_n_=1).

  2. Indukční krok:

    • Předpokládáme platnost pro n_n_ (indukční předpoklad).

    • Dokážeme platnost pro n+1_n_+1.

Příklad:

  • Tvrzení: ∑k=0n2k=2n+1−1∑_k_=0_n_2_k_=2_n_+1−1.

  • Důkaz:

    • Báze (n=0n=0): 20=1=21−120=1=21−1 ✅

    • Krok: Předpokládejme platnost pro n_n_. Pak:k=0∑_n_+12_k_=(2_n_+1−1)+2_n_+1=2⋅2_n_+1−1=2_n_+2−1

      ∑k=0n+12k=(2n+1−1)+2n+1=2⋅2n+1−1=2n+2−1

      ✅

6. CVIČENÍ S ŘEŠENÍM (NÁPOVĚDY)

  1. Cv. 6.1 (Přímý): n_n_ sudé  ⟹ n=2k ⟹ 3n+7=6k+7⟹_n_=2_k_⟹3_n_+7=6_k_+7. Je 6k6_k_ sudé, +7 liché → liché.

  2. Cv. 6.2 (Nepřímý): Obměna: Je-li x_x_ sudé, pak 5x−75_x_−7 je liché. Dosazení: x=2k ⟹ 10k−7_x_=2_k_⟹10_k_−7 je liché.

  3. Cv. 6.3 (Sporem): Předpoklad: Existuje liché n_n_ jako součet tří sudých. Součet tří sudých je sudý → spor.

  4. Cv. 6.4 (Indukce): Klasický příklad, báze n=1_n_=1, krok: použijte n(n+1)2+(n+1)=(n+1)(n+2)22_n_(n+1)+(n+1)=2(n+1)(n+2).

  5. Cv. 6.5 (Indukce): Báze n=1_n_=1, krok: využijte, že (n(n+1)2)2+(n+1)3=((n+1)(n+2)2)2(2_n_(n+1))2+(n+1)3=(2(n+1)(n+2))2.

  6. Cv. 6.6 (Indukce): Ověřte pro n=4_n_=4, pak (n+1)2=n2+2n+1<2n+2n+1(n+1)2=n_2+2_n+1<2_n_+2_n_+1. Ukážete, že pro n≥4_n_≥4 platí 2n+1<2n2_n_+1<2_n_.

  7. Cv. 6.7 (Nepřímý AG): Předpokládejte a+b2<ab2_a_+b<ab a dospějte ke sporu (např. po úpravě (a−b)2<0(a_−_b)2<0).

  8. Cv. 6.8 (Sporem AG): Předpokládejte opak a využijte např. vlastností nerovností.

  9. Cv. 6.9 (Bernoulliho nerovnost): Báze n=1_n_=1, krok: vynásobte obě strany (1+x)(1+x) (pozor na znaménko x≥−1_x_≥−1).

  10. Cv. 6.10: Upravte na a2+b2ab≥2 ⟹ (a−b)2≥0_aba_2+_b_2≥2⟹(a_−_b)2≥0.

  11. Cv. 6.11: Použijte goniometrické vzorce: cos⁡2x=2cos⁡2x−1cos2_x_=2cos2_x_−1, dosaďte a upravte na kvadratický výraz v cos⁡xcos_x_.

💡 TIPY PRO UČENÍ:

  • Přímý důkaz: Hledejte, jak z předpokladu vyjádřit závěr.

  • Nepřímý důkaz: Když přímý nefunguje, zkuste obměnu.

  • Důkaz sporem: Používejte, když chcete ukázat neexistenci nebo “nej-” vlastnosti.

  • Indukce: Vždy využijte indukční předpoklad v kroku!

Graph View