🔢 1. Operace s množinami (Příklad 1.4)
Mějme intervaly:
_I_1 = (−1, 2⟩
_I_2 = (−∞, 2)
_I_3 = ⟨1, ∞)
Příklady operací:
-
Sjednocení: I ∪ I = (−1, ∞)
1
3
-
Průnik: I ∩ I = (−1, 2)
1
2
-
Rozdíl a Doplněk: I ∩ I = {2}
1
2
c
🔗 2. Relace a Kartézský součin (Příklad 2.2)
Kartézský součin:
Mějme množiny A = {1, 2, 3} a B = {a, b, c}.
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}
Relace (Příklad 2.7):
Relace je podmnožina kartézského součinu.
Příklad: Relace R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} popisuje vztah “je menší nebo rovno” (a ≤ b).
🗺️ 3. Skládání zobrazení (Příklad 3.3)
Složení f ∘ g znamená, že vezmeš výsledek g(x) a dosadíš ho do f(x).
Mějme funkce:
f(x) = 2_x_ − 7
g(x) = x_2 − 2_x
Složení (f ∘ g)(x):
f(g(x)) = f(x_2 − 2_x) = 2(x_2 − 2_x) − 7 = 2_x_2 − 4_x_ − 7
Složení (g ∘ f)(x):
g(f(x)) = g(2_x_ − 7) = (2_x_ − 7)2 − 2(2_x_ − 7) = 4_x_2 − 32_x_ + 63
🔄 4. Druhy zobrazení (Příklad 5.2)
Injektivní (prosté): Každý prvek v cílové množině má nejvýše jeden vzor.
-
PŘÍKLAD: f(x) = e (z ℝ do ℝ) je injektivní.
x
-
PROTIPŘÍKLAD: g(x) = cos (x) (z ℝ do ℝ) není injektivní.
Surjektivní (na): Každý prvek v cílové množině má alespoň jeden vzor.
-
PŘÍKLAD: f(x) = e (z ℝ do ℝ) je surjektivní.
x
-
PROTIPŘÍKLAD: g(x) = cos (x) (z ℝ do ℝ) není surjektivní (protože Im g = ⟨−1, 1⟩).
Bijektivní (vzájemně jednoznačné): Zobrazení je injektivní A ZÁROVEŇ surjektivní.
-
PŘÍKLAD: f(x) = e (z ℝ do ℝ) je bijekce.
x